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Programme de Seconde

Chapitre 1 : Géométrie analytique
Module 2 : Coordonnées et calculs de distances
EXERCICE 4
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Solution détaillée
1. On vérifie si le quadrilatère HIJK est un parallélogramme
Enoncé
Pour résoudre cet exercice, je vous propose de suivre la démarche suivante :
Soit S le milieu du segment [HJ]. Nous avons :
2. Calcul des longueurs des diagonales du quadrilatère HIJK
3. Calcul des longueurs de deux côtés consécutifs
On peut, pour cela, utiliser la méthode vue au module 1 de ce Chapitre : on va vérifier si ses diagonales se coupent en leur milieu.

Soit R le milieu du segment [IK]. Nous avons :
Les points R et S ont les mêmes coordonnées. Ils sont donc confondus. Les diagonales du quadrilatère HIJK se coupent en leur mileu. Ce quadrilatère est (au moins) un parallélogramme.
Nous avons :
Le quadrilatère HIJK est un parallélogramme ayant ses diagonales de même longueur. C'est donc un rectangle ou un carré.
Pour terminer, calculons les longueurs de deux côtés consécutifs de ce quadrilatère. Si elles sont égales, c'est un carré et sinon, c'est un rectangle.
Nous avons :
Les deux côtés consécutifs choisis ont la même longueur. le quadrilatère HIJK est un carré.
Soient H ( - 7 ; 25 ) , I ( 5 ; 8 ) , J ( 22 ; 20 )  et  K ( 10 ; 37 ) quatre points du plan muni d'un repère orthonormé  ( O ; I ; J ).
Le quadrilatère HIJK est-il un carré, un rectangle, un losange, un parallélogramme ou un quadrilatère quelconque ?